本次,我们从绝对值的代数意义和几何意义讲解一些有意思的题目.

先认识一下绝对值.

绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.实数a的绝对值是:|a|.

显然,任何数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,所以绝对值具有非负性.

那么,|10|=10, |-10|=10, |0|=0,多个含绝对值的数字运算题目就不举例了,很简单.


先讲代数部分,由一个有趣的公式引入.利用绝对值可以求两个数中的最大值,若这两个数为x,y,那么较大的一个可以这么求:

绝对值插图

例一:若|x+1|与|y+2|互为相反数,试求绝对值插图1绝对值插图2.

说明:任何数的绝对值都是非负数,若两个或两个以上的非负数的和为0,则每一个非负数都为0.

解:

绝对值插图3

因为数a的绝对值:

绝对值插图4

所以化简含绝对值的式子,关键是去绝对值符号.先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数a的正负(即a>0、a<0还是a=0).如果已知条件没有给出其正负,应该分类讨论(即分别讨论a<0和a=0的情形).分类思想是数学中一种非常重要的思想.

例二:绝对值插图5

解:

绝对值插图6

再看一道相同的题目,计算量稍有增加.同样地分类讨论即可.

例三:若x<0,化简绝对值插图7.

解:

绝对值插图8

若有多层绝对值符号,通常从最内层开始,逐层向外化去绝对值符号.

前面的题目都或多或少地提及字母(x)的取值范围,但有的题型可能给出数轴(仔细看图),也可能不给(分类讨论).

例四:数a、b在数轴上对应的点如图所示,试化简绝对值插图9

绝对值插图10

解:

绝对值插图11

例五: 化简(讨论x的取值)绝对值插图12

解:

绝对值插图13

当遇到的问题类似于|x+5|的化简时,去掉一个绝对值符号很容易,只需要分为x<-5与x≥-5两种情况来讨论.这里的x=-5是使x+5=0的x值,我们称它为x+5的一个零点.若题目中有两个由绝对值符号组成的多项式,运用零点来分段进行分类讨论是很简单的解题方法.如下:

例六:化简|x+5|+|2x-3|

解:

绝对值插图14
绝对值插图15
例六示意图

还有很多更复杂的题目,空间有限就不解答了,留给大家运用零点分段法自己动笔算:

绝对值插图16
绝对值插图17

其实,相比于用上面的绝对值的代数意义解题,用它的几何意义解题更加形象,更好理解,下面进入几何意义部分.

绝对值的几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值.

绝对值插图18绝对值插图18最最主要的公式即数轴上两点间的距离公式:

绝对值插图19
示意图

线段AB长度为|a-b|.

明白了这个,“数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值”这句话也可以用公式表示成:  |a-0| 或 |0-a|  .那么3和5在数轴上的距离为 |5-3| 或 |3-5| .

例一:满足方程|x+2|+|x-3|=5的x的取值范围是_______.

如果用代数思想,我们需要找出零点来分段,分成x≤-2,-2<x≤3和x>3三种情况讨论.但是如果运用几何思想呢??

x+2=x-(-2),根据公式,可知它表示x到-2的距离;

x-3不用变号,根据公式可知它表示x到3的距离;

此时题目就被转换成了:在数轴上找出一点x使它到-2和它到3的距离之和为5.因为3-(-2)=5,这是一道填空题,可以直接想象出x的位置:在-2和3之间的任意一点,即取值范围为-2≤x≤3.

绝对值插图20
示意图

例二:利用绝对值的几何意义求|x-1|+|x-3|+|x-4|的最小值.

根据上一题的经验,我们知道题目与“在数轴上,x到1与x到3与x到4的距离之和最小是多少”相同.

绝对值插图21
示意图

可见x在3时到三者之和最小,答案即为3.

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